1. 什么是有效数字呢？

⑴有效数字是指在分析和测量中所能得到的有实际意义的数字。测量结果是由有效数字组成的（前后定位用的“0”除外）。

例如 测量结果1.1080g，组成数字1、1、0、8、0都是实际测读到的，它们是表示试样质量大小的，因而都是有实际意义的。

⑵有效数字的前几位都是准确数字，只有最后一位是可疑数字。

例如前述的1.1080， 前几位数字1、1、0、8都是称量读到的准确数字，而最后一位数字0则是在没有刻度的情况下估读出来的，是不准确的或者说可疑的。

⑶有效数字是处于表示测量结果的数值的不同数位上。所有有效数字所占有的数位个数称为有效数字位数。

例如 数值3.5，有两个有效数字，占有个位、十分位两个数位，因而有效数字位数为两位；3.501有四个有效数字，占有个位、十分位、百分位等四个数位，因而是四位有效数字。

⑷测量结果的数字，其有效位数反映了测量结果的精确度，它直接与测量的精密度有关。这也是有效数字实际意义的体现，是非常重要的体现。

例如 前述例子中，若测量结果为1.1080g，则表示测量值的误差在10^-4量级上，天平的精度为万分之一；若测量结果为1.108g，则表示测量值的误差在10^-3量级上，天平的精度为千分之一。

2、有效数字位数的确定原则

在确定有效数字位数时应遵循下列原则：

⑴数值中数字1～9都是有效数字。

⑵数字“0”在数值中所处的位置不同，起的作用也不同，可能是有效数字，也可能不是有效数字。判定如下：

① “0”在数字前，仅起定位作用，不是有效数字。

例如 0.0257中， “2”前面的两个“0”均非有效数字。 0.123、0.0123、0.00123中“1”前面的 “0”也均非有效数字。

②数值末尾的“0”属于有效数字。

例如 0.5000中， “5”后面的三个“0”均为有效数字；0.50中， “5”后面的一个“0”也是有效数字。

③数值中夹在数字中间的“0”是有效数字。

 例如 数值1. 008中的两个“0”是均是有效数字；数值8. 01中间的 “0”也是有效数字。

④以“0”结尾的正整数， “0”是不是有效数字不确定，应根据测试结果的准确度确定。

例如 3600，后面的两个“0”如果不指明测量准确度就不能确定是不是有效数字。测量中遇到这种情况，最好根据实际测试结果的精确度确定有效数字的位数，有效数字用小数表示，把“0”用10的乘方表示。如将3600写成3.6×103表示此数有两位有效数字；写成3.60×103表示此数有三位有效数字；写成3.600×103表示此数有四位有效数字。

3.修约间隔

修约间隔又称修约区间或化整间隔，系确定修约保留位数的一种方式。修约间隔一般以k×10n（k=1，2，5；n为整数）的形式表示，将同一k值的修约间隔，简称为“k”间隔。

修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。

例如 指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，相当于将数值修约到一位小数。

•    1.0239修约到0.01，为1.02，

•    1.02÷0.01=102（倍）

4.修约数位及确定修约位数的表达方式

修约时拟将拟修约数的哪一位数位后部分按修约规则舍去，则该数位就是修约数位。

数值修约时需要先明确修约数位，确定修约位数的表达方式如下：

⑴指明具体的修约间隔。如指明将某数按0.2（2×10^-1）修约间隔修约、100 （1×10²）修约间隔修约等。

⑵指定将拟修约数修约至某数位的0.1、0.2或0.5个单位。

⑶指明“k”按间隔将拟修约数修约为几位有效数字，或修约至某数位。这时“1” 间隔可不必指明，但“2”间隔和“5”间隔必须指明。

1、GB/T 8170-2008 《数值修约规则》

⑴拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。

例如 将12.1498修约到一位小数，得12.1。

例如 将12.1498修约成两位有效位数，得12。

⑵拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是5，而其后跟有并非全部为0的数字时，则进一，即保留的末位数字加1。

例如 将1268修约到“百”数位，得13×10²（特定时可写为1300）。

例如 将1268修约成三位有效位数，得127×10（特定时可写为1270）。

例如 将10.502修约到个数位，得11。

注：“特定时”的涵义系指修约间隔或有效位数明确时。

⑶拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数(1,3,5,7,9）则进一，为偶数（2,4,6,8,0）则舍弃。

⑷负数修约时，先将它的绝对值按上述⑴⑵⑶规定进行修约，然后在修约值前面加上负号。

⑸ 0.5单位修约与0.2单位修约

① 0.5单位修约 既将拟修约数乘以2，按指定数位依3.1-3.4规则修约，所得数再除以2。

② 0.2单位修约 既将拟修约数乘以5，按指定数位依3.1-3.4规则修约，所得数值再除以5。

2.通用数值修约方法

⑴如果为修约间隔整数培的一系列数中，只有一个数最接近于拟修约数，则该数就是修约数。

例如 将1.150001按0.1修约间隔进行修约。此时，与拟修约数1.150001邻近的为修约间隔整数倍的数有1.1和1.2（分别为修约间隔的11倍和12倍），然而只有1.2最接近于拟修约数，因此1.2就是修约数。

⑵如果为修约间隔整数培的一系列数中，有连续两个数同等接近于拟修约数，则这两个数中，为修约间隔偶数培的数就是修约数。

例如，将1150按100修约间隔行修约。此时，与拟修约数1150邻近的为修约间隔整数倍的数有1100和1200（分别为修约间隔的11倍和12倍），这两个数同等接近于拟修约数，然而1200为修约间隔的偶数培（12倍），因此1200 就是修约数。

⑶一个数据的修约只能进行一次，不能分次修约。

1.加减运算

几个数相加减的结果，经修约后保留有效数字的位数，取决于绝对误差最大的数值，计算结果应以绝对误差最大（即小数点后位数最少）的数据为基准，来决定计算结果数据的位数。

在实际运算过程中，各数值保留的位数比各数值中小数点后位数最少者多保留一位小数，而计算结果有效数字的位数应与效数最少的一数相同。

例如      29.2+36.582-3.0281=62.8

2.乘除运算

几个数据的乘除运算以相对误差最大（即有效数字位数最少）的数值为基准来决定结果数据的位数。

在实际运算中，先将各数值修约至比有效数字位数最少者多保留一位有效数字运算，计算结果的有效数字的位数与有效数字位数最少的数值相同。（与小数点位置无关）

例如，  0.235438×28.6×61.8911

         ≈0.2354×28.6×61.89

         =414.6707116

    三个参与运算的数值的有效数字位数分别为六位、三位、六位，所以最终计算结果用三位有效数字表示，为415或4.15×102。

3.乘方和开方

乘方或开方时，原数值有几位有效数字，计算结果就可以保留几位有效数字。若计算结果还要参与运算，则乘方或开方所得结果可比原数值多保留一位有效数字。

例如：3.58²=12.8614，运算结果保留三位有效数字，为12.9。

4.对数运算

在数值对数计算时，所取对数的小数点后的位数（不包括首数）应与真数的有效数字位数相同。换言之，对数有效数字的位数，只计小数点以后的数字的位数，而不计对数的整数部分。

例如：log（100.44）

       = log（1.0044×10²）

       = 2.0019067…。

最后结果应为2.00191，结果的有效数字位数是五位（小数后位数）而不是六位（整数位数加小数位数），因整数部分只说明该数的10的方次。

5.平均值

计算几个数值的平均值时，先将计算结果修约至比要求的位数多一位，再按数值修约规则处理。

6.方差和标准偏差

方差和标准偏差在运算过程中对中间结果不做修约，只将最后结果修约至要求的位数。

注意：

⑴在所有计算式中，常数（π、e等）以及非检测所得的计算因子（倍数或分数等）的有效数字位数，可视为无限，需要几位就取几位。

⑵使用计算器（或电脑）进行计算时，一般不对中间每一步骤的计算结果进行修约，仅对最后的结果进行修约，使其符合事先所确定的位数。

数值修约你学会了吗？